线性相关性、基、维数

9.1 线性相关性

$v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 是 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的列向量：

• 如果 $A$ 零空间中有且仅有 $0$ 向量，则各向量线性无关，$\text{rank}(A)=n$。
• 如果存在非零向量 $c$ 使得 $Ac=0$，则存在线性相关向量，$\text{rank}(A)<n$。

9.2 基

向量空间 $S$ 中的一组基（basis），具有两个性质：

1. 他们线性无关；
2. 他们可以生成 $S$。

对于向量空间 $R^n$，如果 $n$ 个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这 $n$ 个向量为该空间的一组基，而数字 $n$ 就是该空间的维数（dimension）。

9.3 维数

举例：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]$$

$A$ 的列向量线性相关，其零空间中有非零向量，所以：

$$\text{rank}(A)=2=\text{主元存在的列数}=\text{列空间维数}$$

可以很容易的求得 $Ax=0$ 的两个解，如：

$$x_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right],x_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

根据前几讲，我们知道特解的个数就是自由变量的个数，所以：

$$n-\text{rank}(A)=2=\text{自由变量存在的列数}=\text{零空间维数}$$

可以得到：列空间维数 $\dim C(A)=\text{rank}(A)$，零空间维数 $\dim N(A)=n-\text{rank}(A)$。