矩阵消元

2.1 消元法

三元方程组 $⎩ ⎨ ⎧ x 3 x + 2 y + 8 y 4 y + z + z + z = 2 = 12 = 2$ 对应的矩阵形式 $A x = b$ 为：

$⎣ ⎡ 130284111 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ x y z ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 2122 ⎦ ⎤$

消元（ $[A ∥ b]$ 为方程组的增广矩阵形式）：

$[A ∣ b] = ⎣ ⎡ \underline{1} 30 2841112122 ⎦ ⎤ r_{2} - 3 r_{1} ⎣ ⎡ \underline{1} 00 2 \underline{2} 4 1 - 2 1 262 ⎦ ⎤ r_{3} - 2 r_{2} ⎣ ⎡ \underline{1} 00 2 \underline{2} 0 1 - 2 \underline{5} 26 - 10 ⎦ ⎤$

下划线的元素为主元，主元不能为零。如果在消元时遇到主元位置为零，则需要看它的后面的行对应位置是否为 0，如果不为 0，就交换这两行，将非零数视为主元。

消元失效：如果它后面所有行的对应位置都为 0，则该矩阵不可逆，消元法求出的解不唯一。（如：把第三个方程 $z$ 前的系数成 -4，会导致第二步消元时最后一行全部为零，则第三个主元就不存在了，消元就不能继续进行了。）

消元后方程组变为 $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y 2 y + z - 2 z 5 z = 2 = 6 = - 10$

从第三个方程求出 $z = - 2$ ，代入第二个方程求出 $y = 1$ ，再代入第一个方程求出 $x = 2$ 。

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