求解 Ax = b：可解性和解的结构
8.1 Ax = b 的解
举例，同上一讲：有 矩阵 ：
求 的特解：
写出其增广矩阵（augmented matrix）：
显然，有解的必要条件为 。
8.1.1 Ax = b 可解性
讨论 满足什么条件才能让方程 有解（solvability condition on ）：
- 从列空间看：当且仅当 属于 的列空间时；
- 如果 的各行线性组合得到 0 行，则 端分量做同样的线性组合，结果也为 0 时，方程才有解。
8.1.2 Ax = b 的解结构
- 特解
解法：令所有自由变量取 0，则有 ，解得
代入 求得特解：
通解
令 成立的所有解：
即 的解集为其特解加上零空间。对本例有：
8.2 秩 r 与 Ax = b 的解关系
对于 矩阵 ，有矩阵 的秩 。
8.2.1 列满秩
主元变量为 ，没有自由变量。因为没有自由变量可以赋值，所以列的线性组合得不到 0（因为如果存在非零 使 成立，那么 中有一列是没有贡献的，既然没有贡献，那么也就不存在列满秩的情况了）。
所以列满秩的解的情况：0 或 1 个特解。
举例：
列满秩 情况：
，要使 有非零解， 必须取 中各列的线性组合，此时 的零空间中只有 向量。
P.S. 因为行向量是 2 维的，且前两行线性无关，2 维平面中有两个向量线性无关，那该平面的所有向量都可以由这两个向量线性组合得到，所以后面两行一定会是 0 行。
8.2.2 行满秩
每行都有主元，不存在 0 行，那么 就没有要求，而且有 个自由变量，所以解有无穷多个。
举例：
行满秩 情况：
， 都有 的解，因为此时 的列空间为 ， 恒成立，组成 的零空间的自由变量有 个。
8.2.3 行列满秩
代表的是满秩方阵，消元到最简形式是单位矩阵，是一个可逆矩阵，结合 和 的解的情况得出此时一定有一个解 ， 满足是 向量的线性组合。
举例：
行列满秩情况：，如：
则 最终可以化简为 ，其零空间只包含 向量。